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√2が無理数であることの幾何学的証明
これはなるほどという証明。
√2が無理数であることの証明を背理法で証明しています
正三角形の２辺が「１」で、斜辺が有理数a/bであると仮定。
a/bは分数で表されているので有理数となります。
３辺をａ倍すると上図のような三角形が得られます
ａもｂも整数です。
三角形には相似形のものがあります。
上図はａ：ａ：ｂの比率でかつ、ｍもｈも最小な整数(自然数）となる三角形が存在すると仮定。
直角の位置からコンパスで斜辺側に線を引き、交点から残りの１辺側に垂線を下ろします
小さな直角三角形が右隅に出来ます。
ｍもｈも整数であり、小さな直角三角形の辺長であるｈ-ｍと2ｍ-ｈが得られます
ｈもｍも整数なので、ｈ－ｍも2ｍーｈも整数になりますが、
前提として相似形の内で最も小さな直角2等辺三角形の辺長をｈとｍと仮定したことに矛盾が生じています,,,これは1辺1で斜辺が有理数a/bと仮定したことによる矛盾,,,よって斜辺長は分数で表すことは出来ず、√2も分数で表されないので有理数ではない、すなわち無理数になる
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