タイランド湾を見て暮らす・パタヤコージーライフ

Pattayaでのリタイヤライフです。旅行/日常生活/ゴルフ/鳥見/タイ語学習

四元数、i² = j² = k² = ijk = −1の謎判明

自然数:1,2,3,・・・
整数:・・・-3,-2,-1,0,1,2,3,・・・
有理数:整数÷整数(すなわち分数)で表される数
無理数:分数で表せない数、例えば√2、√3、π、e(ネイピア数)など。
実数:有理数+無理数
複素数:x+yi (xとyは実数、iは虚数単位:2乗して-1になる数)
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 ここまでが小生の数に関する知識でした。
 ちなみに、高校では文系の方は実数まで、数Ⅲを学ぶ理系数学で複素数を学びます。


 表題のi² = j² = k² = ijk = −1については、以前投稿した記事に書きましたが、ニュートンの再来といわれたアイルランドの数学者ハミルトンが、この数式を発見して興奮のあまり、ちょうど渡っていたブルーム橋に数式を刻み込んだ、、、ということでした。

 ブルームブリッジ

 ハミルトンが橋に基本公式を刻んだことを記念して作られた銘板。
(上記2枚の写真:https://en.wikipedia.org/wiki/Broom_Bridge)  


 i² = j² = k² = ijk = −1の両端、i² = −1は、まさに、複素数の虚数単位の定義です。
 上記記事を書いた時点では、他のjとkについては、何を言っていることやら、、という感じでした。

四元数を解説します。Quaternion R2.09.28


 三日前にYouTubeに投稿された動画に、四元数(しげんすう)が紹介されていました。
 x² + 1 = 0を
 実数の範囲で解くと解なし。
 複素数の範囲で解くと± i の2解ある。
 四元数の範囲で解くと無限個存在する。
 という趣旨の動画で、四元数は大学の数学科レベルですが、動画の内容は高校数Ⅲの知識で十分理解できます。


 上記は複素平面で実軸と虚軸があり、x+yiを座標に示すと、実軸x、虚軸yの交差位置で示されます。この複素平面は1811年ごろガウスによって導入されたもので、ガウス平面とも呼ばれます。


 前述ハミルトンは、二次元平面で表される複素数を三次元以上に一般化することに一生をささげたようで、複素数を拡張した数体系として、虚数単位 i, j, k を用いて a + bi + cj + dkと表せる四元数を導入しました。複素数を平面から3次元空間に展開すると、実数と虚数単位3つを使った虚数で示されるということのようです。


 60年以上生きてきましたが、高校で習った数の範囲は複素数どまりでしたが、四元数まで一気に拡張され、目から鱗というか、新しい地平が広がるというか、まあとにかく、久々にスカッとした気分です。


 四元数は、導入された当初、数学者の頭の中だけの世界での議論でした。


 複素数は極座標表示で示すと、z = r(cos θ + i sin θ)と表されます(←数Ⅲの範囲)。
 座標の回転を考えるとき、通常のxy平面で考えるより非常に簡単になります。複素数を四元数に拡張して考えると、三次元空間での座標の回転や平行移動が容易に計算できます。
 3Dグラフィックは四元数で計算するようで、決して絵空事ではないようです。