タイランド湾を見て暮らす・パタヤコージーライフ

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リーマン予想

 数学にミレニアム問題というのがあって、解決すると100万ドルもらえるそうです。
 まあどれも、そもそも何を言っているのかがわからない、、、という代物ばかりです。


 ミレニアム問題そのものに順番はないようですが、一番最初に挙げられることの多いヤンミルズ方程式と質量ギャップ問題は、

 何言っているのか、全くわかりません、、、という感じです。


 この投稿の主題であるリーマン予想は2番目に挙げられることが多いようで、

 という主張です。


 ここ最近、リーマン予想に関するYouTubeとかネット記事を何度も閲覧し、少なくとも、枠で囲った部分の意味についてだけは理解できました。


 私自身、大学入試の数学がピークで、大学入学後、工学部系に進んだので、教養課程の数学は勉強しましたが、全くというほど、頭に残っていません。


 ただ、その後、趣味として大学入試の問題集を解く、、、ということを続けていくなか、「数学者の素数への熱意」を感じることがあります、、、個人的にはあまり理解できませんでしたが。


 このリーマン予想、、、なぜ、ミレニアム問題として数学者の熱意の受け皿になっているかですが、「素数は一体いくつあるか」という答えにつながるからのようです。


 素数が無限にあること自体、ギリシャ時代に証明されていますが、素数の数を与える式として、「リーマンの素数計数方程式」というものがあり、ドイツの数学者ベルンハルト・リーマンが1859年に発表しています。

 π(x)は、x以下の素数の数を与えるものです。この式は後に厳密に証明されていますが、実はこの式は現実には使えません。上式の( )の第2項で、 ζ(s) の非自明な零点全体にわたって実軸に近い順番で足していく必要がありますが、「非自明な零点」の存在そのものが明確に規定されていないからです。 

 リーマンゼータ関数ζ(s)はs>1の領域で上記のように規定されています。このsの定義域では非自明な零点がないことが示されています。このζ(s)を解析接続という手法で、定義されていない領域、s<0に広げていくと、零点(ζ(s)=0なる点)が存在します。ただこの零点についてはsinの周期性で求まる自明な零点で、「非自明な零点」ではありません。


 もともとの定義域から外れ、解析接続でも求まらない0<s<1の範囲(臨界領域という)の中にしか、「非自明な零点はなさそうだ」ということは現時点で分かっているようです。


 sは複素数なので、複素平面上で表すと実部と虚部に分かれるわけですが、リーマン予想では非自明な零点は、実部が1/2(0.5)と予想され、零点は0.5+yiとなると主張しています。


 計算機で解析して、非自明な零点がいくつか求まっていますが、これらはすべて実部=0.5になっているので予想は正しそうですが、すべての非自明な零点を示せていないので、現時点ではまだ証明されていないことになります。


 以上が、リーマン予想とは何か?の背景知識ですが、オイラーによって、リーマンゼータ関数は、次のようになると示されています。

 よくわからない式ですが、上式を展開すると次のようになります。

 左辺は自然数のべき乗の逆数の和です、
 右辺は分数の掛け算になっていますが、2,3,5・・・と素数が順に並んでいます。


 
 自然数の2乗、3乗、、、、いずれの場合でも、順に足し込んでいくと、右辺側に素数が出てくる、、、、なんて不思議なことなのだろうと、最近は思うようになっています。